Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função
. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente usando as regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do quociente. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essas regras para funções compostas e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a estrutura da função. Temos uma função elevada ao cubo, ou seja, uma função composta. Para derivar
, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Vamos aplicar a regra da cadeia à nossa função. Aqui,
e
. Assim, a derivada de
será:
Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada da função dentro dos parênteses.
Passo 4
Para encontrar
, usamos a regra do quociente, que é usada para derivar funções que são quocientes de duas outras funções. A regra do quociente diz que se
, então:
No nosso caso,
e
.
Passo 5
Vamos calcular
e
:
Passo 6
Agora, aplique a regra do quociente para encontrar
:
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Passo 7
Agora, voltamos à derivada de
:
Podemos simplificar isso multiplicando os termos:
Resposta
A derivada da função é:
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