Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente usando as regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do quociente. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essas regras para funções compostas e frações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a estrutura da função. Temos uma função elevada ao cubo, ou seja, uma função composta. Para derivar , vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que a derivada de é .

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia à nossa função. Aqui, e . Assim, a derivada de será:
Agora, precisamos encontrar , que é a derivada da função dentro dos parênteses.

Passo 4

Para encontrar , usamos a regra do quociente, que é usada para derivar funções que são quocientes de duas outras funções. A regra do quociente diz que se , então:
No nosso caso, e .

Passo 5

Vamos calcular e :

Passo 6

Agora, aplique a regra do quociente para encontrar :
Vamos simplificar o numerador:
Então:

Passo 7

Agora, voltamos à derivada de :
Podemos simplificar isso multiplicando os termos:

Resposta

A derivada da função é:

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