Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:
Passo 1
Neste exercício, nosso objetivo é encontrar a derivada da função
utilizando as regras de derivação. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia e conhecer as derivadas das funções trigonométricas, especificamente a cosecante e a cotangente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a função
é uma função composta, onde temos uma função trigonométrica aplicada a uma razão de polinômios. Escrevemos isso como:
onde
Para derivar
, usaremos a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 3
A Regra da Cadeia diz que a derivada de
em relação a
é:
Primeiro, vamos encontrar
.
Passo 4
Sabemos que a derivada da
em relação a
é:
Agora, precisamos encontrar
, onde
.
Passo 5
Para encontrar
, usaremos a Regra do Quociente, que é aplicada quando derivamos uma função que é o quociente de duas outras funções. A Regra do Quociente diz:
onde
e
.
Passo 6
Calculando as derivadas necessárias:
Aplicando na Regra do Quociente:
Passo 7
Voltando à derivada de
:
Substituindo
:
Simplificando os sinais:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas das funções abaixo:
Prove que: Se
então
Use as regras de derivação para provar que:
se
Prove que: Se
então