Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:

Passo 1

Neste exercício, nosso objetivo é encontrar a derivada da função utilizando as regras de derivação. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia e conhecer as derivadas das funções trigonométricas, especificamente a cosecante e a cotangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a função é uma função composta, onde temos uma função trigonométrica aplicada a uma razão de polinômios. Escrevemos isso como:
onde
Para derivar , usaremos a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 3

A Regra da Cadeia diz que a derivada de em relação a é:
Primeiro, vamos encontrar .

Passo 4

Sabemos que a derivada da em relação a é:
Agora, precisamos encontrar , onde .

Passo 5

Para encontrar , usaremos a Regra do Quociente, que é aplicada quando derivamos uma função que é o quociente de duas outras funções. A Regra do Quociente diz:
onde e .

Passo 6

Calculando as derivadas necessárias:
Aplicando na Regra do Quociente:

Passo 7

Voltando à derivada de :
Substituindo :
Simplificando os sinais:

Resposta

A derivada da função é:

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Calcule as derivadas das funções abaixo:
Prove que: Se então
Use as regras de derivação para provar que: se
Prove que: Se então