Prove que: Se então

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para provar que, se , então a derivada de em relação a é . Esse exercício está ligado ao estudo de derivadas, mais especificamente às derivadas de funções trigonométricas inversas. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação e entender bem a função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que é o ângulo cuja tangente é . Em termos matemáticos:

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados dessa igualdade em relação a . Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada lado da equação. Lembrando que é uma função de , usamos a regra da cadeia no lado esquerdo:

Passo 4

Calculando as derivadas:
No lado esquerdo, usando a regra da cadeia:
No lado direito:
Então, temos:

Passo 5

Queremos encontrar , então isolamos esse termo:

Passo 6

Lembrando que , então . Portanto:

Passo 7

Agora, precisamos expressar em termos de . Como , podemos imaginar um triângulo retângulo onde o cateto oposto a é e o cateto adjacente é 1. A hipotenusa será .
Então,

Passo 8

Então,

Resposta

Portanto, a derivada de em relação a é:

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Use as regras de derivação para provar que: se
Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:
Sabendo que está definida implicitamente nas equações abaixo, calcule :
Sabendo que está definida implicitamente nas equações abaixo, calcule :