Prove que: Se
então
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para provar que, se
, então a derivada de
em relação a
é
. Esse exercício está ligado ao estudo de derivadas, mais especificamente às derivadas de funções trigonométricas inversas. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação e entender bem a função arco-tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que
é o ângulo cuja tangente é
. Em termos matemáticos:
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados dessa igualdade em relação a
. Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada lado da equação. Lembrando que
é uma função de
, usamos a regra da cadeia no lado esquerdo:
Passo 4
Calculando as derivadas:
No lado esquerdo, usando a regra da cadeia:
No lado direito:
Então, temos:
Passo 5
Queremos encontrar
, então isolamos esse termo:
Passo 6
Lembrando que
, então
. Portanto:
Passo 7
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Como
, podemos imaginar um triângulo retângulo onde o cateto oposto a
é
e o cateto adjacente é 1. A hipotenusa será
.
Então,
Passo 8
Então,
Resposta
Portanto, a derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Use as regras de derivação para provar que:
se
Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:
Sabendo que
está definida implicitamente nas equações abaixo, calcule
:
Sabendo que
está definida implicitamente nas equações abaixo, calcule
: