Prove que: Se y = arcsen(x) então y' = 1 / raiz(1 - x^2)

Passo 1

Vamos lá! Temos a função e precisamos provar que sua derivada é . Para isso, vamos usar o conceito de derivada de funções inversas.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a função é a inversa da função seno, ou seja, se , então .

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Assim, temos:

Passo 4

Derivando, obtemos:
Aqui, usamos a regra da cadeia na derivada do lado direito.

Passo 5

Queremos encontrar , então isolamos ela:

Passo 6

Mas ainda temos na expressão. Precisamos relacionar com . Sabemos que e, por isso, podemos usar a identidade trigonométrica:
Substituindo por :
Então:
E tomando a raiz quadrada:

Passo 7

Agora substituímos na expressão da derivada:

Resposta

Portanto, a derivada de é .

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