Prove que: Se
então
Passo 1
Vamos lá! Temos a função
e precisamos provar que sua derivada é
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada de funções inversas.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que a função
é a inversa da função seno, ou seja, se
, então
.
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação
em relação a
. Assim, temos:
Passo 4
Derivando, obtemos:
Aqui, usamos a regra da cadeia na derivada do lado direito.
Passo 5
Queremos encontrar
, então isolamos ela:
Passo 6
Mas ainda temos
na expressão. Precisamos relacionar
com
. Sabemos que
e, por isso, podemos usar a identidade trigonométrica:
Substituindo
por
:
Então:
E tomando a raiz quadrada:
Passo 7
Agora substituímos
na expressão da derivada:
Resposta
Portanto, a derivada de
é
.
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