Prove que: Se
então
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é o arco cosseno de
, ou seja,
. O que precisamos fazer é encontrar a derivada dessa função, que a gente representa por
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
, então isso significa que
. Isso é importante porque vamos usar essa relação para encontrar a derivada.
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação
em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, aplicamos a regra da cadeia na derivada do lado esquerdo:
Passo 4
Derivando o lado esquerdo:
Aqui, usamos a derivada da função cosseno, que é
, multiplicada pela derivada de
em relação a
, que é
.
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Passo 6
Lembrando que
(pela identidade trigonométrica), e como
, temos:
Passo 7
Substituindo isso na expressão para
:
Resposta
Portanto, a derivada de
é:
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Calcular
se
.
Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:
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