Prove que: Se então

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é o arco cosseno de , ou seja, . O que precisamos fazer é encontrar a derivada dessa função, que a gente representa por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se , então isso significa que . Isso é importante porque vamos usar essa relação para encontrar a derivada.

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que é uma função de , aplicamos a regra da cadeia na derivada do lado esquerdo:

Passo 4

Derivando o lado esquerdo:
Aqui, usamos a derivada da função cosseno, que é , multiplicada pela derivada de em relação a , que é .

Passo 5

Agora, vamos isolar :

Passo 6

Lembrando que (pela identidade trigonométrica), e como , temos:

Passo 7

Substituindo isso na expressão para :

Resposta

Portanto, a derivada de é:

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Calcular se .
Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:
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