Calcule as derivadas das funções abaixo usando o TFC parte 1: (1,0 ponto) G(x)=integralsecx^x^8(t^4-5) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e a regra da cadeia para derivadas. Vamos precisar entender como derivar integrais que têm limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que diz o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Basicamente, se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de G'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) , a derivada dessa função é dada pela diferença entre o valor da função integranda avaliada no limite superior multiplicada pela derivada do limite superior e o valor da função integranda avaliada no limite inferior multiplicada pela derivada do limite inferior.
Matematicamente, se , então:

Passo 3

No nosso caso, f(b(x)) = f(x^8) = (x^8)^4 - 5 = x^32 - 5 , o limite inferior f(a(x)) = f(sec x) = (sec x)^4 - 5 e o limite superior . Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeiro, calculemos e :

Passo 4

Agora, vamos derivar os limites inferiores e superiores em relação a b'(x) = ddx x^8 = 8x^7 :
a'(x) = ddx sec x = sec x tan x

Passo 5

Aplicando a fórmula do TFC que mencionamos:
G'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo os valores que encontramos:
G'(x) = (x^32 - 5) cdot 8x^7 - ((sec x)^4 - 5) cdot sec x tan x

Resposta

A derivada da função G'(x) = 8x^39 - 40x^7 - (sec^4x - 5) sec x tan x é:

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