Uma população de 500 bactérias é introduzida numa cultura e o crescimento em número é dada pela equação abaixo
onde é medido em horas. Ache a taxa pela qual a população está crescendo quando .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema diz que começamos com 500 bactérias numa cultura, e o número delas cresce conforme a função , onde é o tempo em horas. A gente precisa descobrir quão rápido a população está crescendo exatamente quando se passaram 2 horas. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a taxa de variação de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a taxa de crescimento da população é a derivada da função em relação ao tempo . Então, queremos encontrar quando .
Passo 3
Vamos começar derivando a função :
A derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Assim:
A derivada de 1 é zero, então:
Passo 4
Agora, vamos derivar a fração . Para isso, usamos a regra do quociente:
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Aplicando na regra do quociente:
Passo 5
Substituindo essa derivada na expressão de :
Agora, vamos substituir horas:
Passo 6
Simplificando a fração:
Multiplicando por 500:
Arredondando, temos aproximadamente 32 bactérias por hora.
Resposta
A taxa de crescimento da população quando horas é de aproximadamente 32 bactérias por hora.