Uma população de 500 bactérias é introduzida numa cultura e o crescimento em número é dada pela equação abaixo
onde é medido em horas. Ache a taxa pela qual a população está crescendo quando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema diz que começamos com 500 bactérias numa cultura, e o número delas cresce conforme a função , onde é o tempo em horas. A gente precisa descobrir quão rápido a população está crescendo exatamente quando se passaram 2 horas. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a taxa de variação de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a taxa de crescimento da população é a derivada da função em relação ao tempo . Então, queremos encontrar quando .

Passo 3

Vamos começar derivando a função :
A derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Assim:
A derivada de 1 é zero, então:

Passo 4

Agora, vamos derivar a fração . Para isso, usamos a regra do quociente:
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Aplicando na regra do quociente:

Passo 5

Substituindo essa derivada na expressão de :
Agora, vamos substituir horas:

Passo 6

Simplificando a fração:
Multiplicando por 500:
Arredondando, temos aproximadamente 32 bactérias por hora.

Resposta

A taxa de crescimento da população quando horas é de aproximadamente 32 bactérias por hora.

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