Calcule as derivadas das funções abaixo usando o TFC parte 1: (0.5 pontos) g(x)=integral-2^x cossec^12(t^2+ln t) d t

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) parte 1, que é essencial para resolver derivadas envolvendo integrais definidas.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo parte 1 nos diz que se temos uma função definida por uma integral com o limite superior variável, ou seja, G'(x) = f(x) , então a derivada dessa função em relação a é simplesmente a função integranda avaliada em . Em fórmula:
Isso facilita bastante a vida porque evita ter que calcular a integral inteira para encontrar a derivada.

Passo 3

Aplicando o TFC parte 1 na nossa função , identificamos que:
  • A função dentro da integral é
  • O limite inferior é uma constante ( ) e o limite superior é a variável
Portanto, seguindo o teorema, a derivada de em relação a é simplesmente .

Resposta

A derivada da função g'(x) = cossec^12(x^2 + ln x) é:

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