Calcule as integrais definidas abaixo : (1 ponto) integral-4^4(y^4+6)^7 y^3 d y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida . Para resolver isso, vamos usar o conceito de substituição em integrais, que nos ajuda a simplificar expressões complicadas.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma substituição adequada. Observando a expressão u = y^4 + 6 , podemos notar que dentro do parêntese temos . Vamos chamar essa parte de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudy = 4y^3 em relação a du = 4y^3 , dy , ou seja, :
Isso nos dá:

Passo 4

Queremos expressar toda a integral em termos de y^3 , dy = du4 . Da equação anterior, podemos resolver para :

Passo 5

Substituindo integral-4^4(y^4+6)^7 y^3 , dy = integralu(-4)^u(4) u^7 cdot du4 e na integral original, temos:

Passo 6

Agora, precisamos calcular os novos limites de integração. Quando u(-4) = (-4)^4 + 6 = 256 + 6 = 262 :
u(4) = 4^4 + 6 = 256 + 6 = 262
E quando :

Passo 7

Substituindo os limites na integral, temos:
integral262^262 u^74 , du

Passo 8

Uma propriedade importante das integrais é que se os limites superior e inferior são iguais, a integral é zero. Então:
integral262^262 u^74 , du = 0

Resposta

O valor da integral é .

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