Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia.
(e) f(x) = (ln(x^2 + 1))^3

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função usando a Regra da Cadeia. Isso faz parte do conteúdo de derivadas de funções compostas. Precisamos lembrar como aplicar essa regra para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a composição. Aqui, temos uma função externa e uma função interna:
  • Função externa:
  • Função interna:
A Regra da Cadeia nos diz que a derivada da função composta é o produto da derivada da função externa pela derivada da função interna, ou seja:

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função externa :
Isso significa que a derivada da parte externa é três vezes o quadrado da função interna.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada da função interna . Lembrando que a derivada de é , temos:
Aqui, derivamos o argumento do logaritmo e aplicamos a regra da derivada do logaritmo natural.

Passo 5

Por fim, aplicamos a Regra da Cadeia combinando as derivadas que encontramos:
Simplificando isso, temos:

Resposta

A derivada de é:

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