Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia. f(t) = t^3 * e^(-t^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função usando a Regra da Cadeia. Pra isso, vamos precisar entender também a Regra do Produto, que é usada quando a gente tem duas funções multiplicadas, como aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que estão sendo multiplicadas. No caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra do Produto para derivar . A Regra do Produto diz que se você tem uma função que é o produto de duas funções, e , a derivada dela é:
Então, precisamos encontrar e .

Passo 4

Começando com , a derivada é simples:
Agora, vamos para . Aqui usamos a Regra da Cadeia porque temos uma função composta. A Regra da Cadeia diz que a derivada de é . Nesse caso, , então:
Portanto,

Passo 5

Agora que temos e , vamos substituir na fórmula da Regra do Produto:
Simplificando:

Passo 6

Podemos fatorar para deixar a expressão mais organizada:

Resposta

A derivada da função é:

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