Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função usando a Regra da Cadeia. Isso envolve entender derivadas de funções compostas, onde uma função está dentro de outra. Vamos precisar usar a derivada de uma função exponencial com base e expoente que também dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar funções do tipo . Quando tanto a base quanto o expoente são funções de , uma técnica útil é usar o logaritmo natural para simplificar a derivação. Vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da função:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, temos:
Agora, nossa função está em uma forma mais fácil de derivar.

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando derivamos , usamos a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, precisamos derivar o lado direito. Temos um produto de duas funções: e . Vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é :

Passo 6

Vamos derivar cada parte separadamente:
  1. A derivada de é (pela regra da cadeia).
  2. A derivada de é .
Substituindo essas derivadas na expressão:

Passo 7

Agora, lembrando que , podemos multiplicar ambos os lados por para isolar :

Resposta

A derivada da função é:

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Classifique as funções a seguir em um dos tipos estudados (função polinomial, potência, racional, trigonométrica, exponencial ou logarítmica).