Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
usando a Regra da Cadeia. Isso envolve entender derivadas de funções compostas, onde uma função está dentro de outra. Vamos precisar usar a derivada de uma função exponencial com base e expoente que também dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como derivar funções do tipo
. Quando tanto a base quanto o expoente são funções de
, uma técnica útil é usar o logaritmo natural para simplificar a derivação. Vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da função:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, temos:
Agora, nossa função está em uma forma mais fácil de derivar.
Passo 4
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que quando derivamos
, usamos a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, precisamos derivar o lado direito. Temos um produto de duas funções:
e
. Vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
:
Passo 6
Vamos derivar cada parte separadamente:
- A derivada de
é (pela regra da cadeia). - A derivada de
é .
Substituindo essas derivadas na expressão:
Passo 7
Agora, lembrando que
, podemos multiplicar ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A derivada da função é:
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Obtenha uma fórmula para encontrar a n-ésima derivada das seguintes funções:
Classifique as funções a seguir em um dos tipos estudados (função polinomial, potência, racional, trigonométrica, exponencial ou logarítmica).