Obtenha uma fórmula para encontrar a n-ésima derivada das seguintes funções:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma fórmula geral para a n-ésima derivada da função
. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas e fórmulas de derivadas de funções racionais.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a função de uma forma que facilite a aplicação das regras de derivação. Podemos expressar
como:
Passo 3
Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar a primeira derivada. A regra da cadeia nos diz que, se temos uma função composta, a derivada dela é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna. Então, derivando
:
Passo 4
Vamos observar o padrão que se forma ao derivar novamente. Percebemos que cada derivada sucessiva aumenta o expoente do denominador e multiplica por uma constante. Isso sugere uma fórmula geral para a n-ésima derivada.
Passo 5
Generalizando o padrão encontrado, a n-ésima derivada de
será:
Resposta
A fórmula para a n-ésima derivada da função
é:
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