Obtenha uma fórmula para encontrar a n-ésima derivada das seguintes funções:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma fórmula geral para a n-ésima derivada da função . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas e fórmulas de derivadas de funções racionais.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a função de uma forma que facilite a aplicação das regras de derivação. Podemos expressar como:

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar a primeira derivada. A regra da cadeia nos diz que, se temos uma função composta, a derivada dela é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna. Então, derivando :

Passo 4

Vamos observar o padrão que se forma ao derivar novamente. Percebemos que cada derivada sucessiva aumenta o expoente do denominador e multiplica por uma constante. Isso sugere uma fórmula geral para a n-ésima derivada.

Passo 5

Generalizando o padrão encontrado, a n-ésima derivada de será:

Resposta

A fórmula para a n-ésima derivada da função é:

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