Calcule as derivadas das funções abaixo:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos calcular a derivada dessa função em relação a . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente às regras de derivação de funções que são produtos de duas outras funções.

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar a Regra do Produto. A Regra do Produto nos diz que se temos uma função que é o produto de duas funções, ou seja, , então a derivada dessa função é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de e :
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
    Para isso, usamos a Regra da Cadeia, que é usada para derivar funções compostas. A Regra da Cadeia nos diz que se temos uma função , então sua derivada é .
Aqui, , então precisamos encontrar :
Portanto, a derivada de é:

Passo 4

Agora que temos e , podemos aplicar a Regra do Produto:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar :

Resposta

A derivada da função em relação a é:

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Calcule as derivadas das funções abaixo:
Calcule as derivadas das funções abaixo: