Calcule as integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
.
Aqui, vamos trabalhar com cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas para simplificar a expressão dentro da raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que pode ajudar a simplificar
.
Sabemos que:
Mas isso não simplifica muito. Então, em vez disso, vamos usar a identidade do cosseno duplo da seguinte forma:
Ainda assim, não está muito fácil. Vamos tentar outra abordagem.
Passo 3
Vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona o seno e o cosseno ao quadrado:
Mas isso também não está certo. Na verdade, vamos usar a identidade para expressar
de uma forma que possamos simplificar a raiz.
Na verdade, vamos usar a identidade:
Parece complicado. Então, vamos utilizar uma substituição trigonométrica que facilita a integral.
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
Então, quando
,
e quando
,
.
A derivada de
em relação a
é:
Agora, vamos reescrever a integral em termos de
:
Simplificando o argumento do seno:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Podemos reescrever isso utilizando a identidade de meio ângulo:
Mas uma alternativa mais útil é usar a identidade que relaciona
com o cosseno duplo:
Ainda assim, a expressão dentro da raiz continua complicada. Então, vamos usar uma substituição diferente para facilitar a integral.
Passo 6
Vamos usar a identidade:
Portanto,
No intervalo de
a
,
, então:
Agora, nossa integral fica:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Sabemos que:
Então,
Passo 8
Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de
a
:
Sabemos que:
Então,
Resposta
O valor da integral é
.
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Explique por que cada uma das integrais é imprópria.
Calcule as integrais.
Calcule as derivadas das funções abaixo:
Calcule as derivadas das funções abaixo: