Calcule as integrais.
integralpi / 2^3 pi / 4 raiz1-sen 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: .
Aqui, vamos trabalhar com cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas para simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que pode ajudar a simplificar 1 - sin 2x = 1 - 2 sin x cos x .
Sabemos que:
1 - sin 2x = 1 - 2 sin x cos x
Mas isso não simplifica muito. Então, em vez disso, vamos usar a identidade do cosseno duplo da seguinte forma:
Ainda assim, não está muito fácil. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 3

Vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona o seno e o cosseno ao quadrado:
1 - sin 2x = 1 - 2 sin x cos x = (sin x - cos x)^2
Mas isso também não está certo. Na verdade, vamos usar a identidade para expressar 1 - sin 2x = 1 - 2 sin x cos x = (sin x - cos x)^2 + 2 sin^2 x + 2 cos^2 x -2 de uma forma que possamos simplificar a raiz.
Na verdade, vamos usar a identidade:
Parece complicado. Então, vamos utilizar uma substituição trigonométrica que facilita a integral.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = pi/2 - x
Então, quando du = -dx Rightarrow dx = -du , integralpi / 2^3 pi / 4 raiz1 - sin 2x , dx = -integral0^pi/4 raiz1 - sin(2(pi/2 - u)) , du e quando 2(pi/2 - u) = pi - 2u Rightarrow sin(pi - 2u) = sin 2u , -integral0^pi/4 raiz1 - sin 2u , du = integral0^pi/4 raiz1 - sin 2u , du .
A derivada de em relação a é:
Agora, vamos reescrever a integral em termos de :
Simplificando o argumento do seno:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
1 - sin 2u = 1 - 2 sin u cos u
Podemos reescrever isso utilizando a identidade de meio ângulo:
1 - sin 2u = (sin u - cos u)^2
Mas uma alternativa mais útil é usar a identidade que relaciona 1 - sin 2u = 1 - 2 sin u cos u = (sin u - cos u)^2 com o cosseno duplo:
Ainda assim, a expressão dentro da raiz continua complicada. Então, vamos usar uma substituição diferente para facilitar a integral.

Passo 6

Vamos usar a identidade:
1 - sin 2u = 1 - 2 sin u cos u = (sin u - cos u)^2
Portanto,
raiz1 - sin 2u = |sin u - cos u|
No intervalo de raiz1 - sin 2u = cos u - sin u a integral0^pi/4 (cos u - sin u) , du , , então:
Agora, nossa integral fica:

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
integral (cos u - sin u) , du = integral cos u , du - integral sin u , du
Sabemos que:
integral cos u , du = sin u + C
integral sin u , du = -cos u + C
Então,
integral (cos u - sin u) , du = sin u + cos u + C

Passo 8

Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de [ sin u + cos u ]0^pi/4 = (sin pi4 + cos pi4) - (sin 0 + cos 0) a sin pi4 = cos pi4 = raiz22 :
sin 0 = 0 e cos 0 = 1
Sabemos que:
( raiz22 + raiz22 ) - (0 + 1) = raiz2 - 1
Então,

Resposta

O valor da integral é .

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