Calcule as integrais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: .
Aqui, vamos trabalhar com cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas para simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que pode ajudar a simplificar .
Sabemos que:
Mas isso não simplifica muito. Então, em vez disso, vamos usar a identidade do cosseno duplo da seguinte forma:
Ainda assim, não está muito fácil. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 3

Vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona o seno e o cosseno ao quadrado:
Mas isso também não está certo. Na verdade, vamos usar a identidade para expressar de uma forma que possamos simplificar a raiz.
Na verdade, vamos usar a identidade:
Parece complicado. Então, vamos utilizar uma substituição trigonométrica que facilita a integral.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
Então, quando , e quando , .
A derivada de em relação a é:
Agora, vamos reescrever a integral em termos de :
Simplificando o argumento do seno:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Podemos reescrever isso utilizando a identidade de meio ângulo:
Mas uma alternativa mais útil é usar a identidade que relaciona com o cosseno duplo:
Ainda assim, a expressão dentro da raiz continua complicada. Então, vamos usar uma substituição diferente para facilitar a integral.

Passo 6

Vamos usar a identidade:
Portanto,
No intervalo de a , , então:
Agora, nossa integral fica:

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
Sabemos que:
Então,

Passo 8

Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de a :
Sabemos que:
Então,

Resposta

O valor da integral é .

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Calcule as integrais.
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