Explique por que cada uma das integrais é imprópria.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que explicar por que a integral
é imprópria. Aqui, a matéria envolvida é cálculo integral, especificamente o estudo de integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender o que torna uma integral imprópria e analisar os limites de integração e o comportamento da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral imprópria. Uma integral é dita imprópria quando pelo menos uma das seguintes condições ocorre:
- Os limites de integração são infinitos.
- A função integrada tem descontinuidades (como assíntotas verticais) no intervalo de integração.
Passo 3
Vamos olhar para os limites de integração da nossa integral: de
até
. O fato de termos
como limite inferior já nos diz que essa integral tem um limite infinito, o que a torna imprópria pela primeira condição que mencionamos.
Passo 4
Agora, vamos analisar a função
. A cotangente de
é igual a
. Sabemos que
para
, onde
é qualquer número inteiro. Nessas posições, a função
se torna indefinida, ou seja, tem assíntotas verticais.
Passo 5
No intervalo de
até
, a função
passa por infinitas dessas assíntotas verticais, já que
pode ser igual a qualquer múltiplo de
negativo, como
,
,
, e assim por diante. Isso significa que a função
possui descontinuidades infinitas no intervalo de integração.
Passo 6
Portanto, além do limite de integração ser infinito, a função
apresenta descontinuidades infinitas no intervalo considerado. Isso confirma que a integral
é imprópria por ambas as razões mencionadas.
Resposta
A integral
é imprópria porque possui um limite de integração infinito e a função
tem descontinuidades infinitas (assíntotas verticais) no intervalo de integração.
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