Explique por que cada uma das integrais é imprópria.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que explicar por que a integral é imprópria. Aqui, a matéria envolvida é cálculo integral, especificamente o estudo de integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender o que torna uma integral imprópria e analisar os limites de integração e o comportamento da função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral imprópria. Uma integral é dita imprópria quando pelo menos uma das seguintes condições ocorre:
  1. Os limites de integração são infinitos.
  2. A função integrada tem descontinuidades (como assíntotas verticais) no intervalo de integração.

Passo 3

Vamos olhar para os limites de integração da nossa integral: de até . O fato de termos como limite inferior já nos diz que essa integral tem um limite infinito, o que a torna imprópria pela primeira condição que mencionamos.

Passo 4

Agora, vamos analisar a função . A cotangente de é igual a . Sabemos que para , onde é qualquer número inteiro. Nessas posições, a função se torna indefinida, ou seja, tem assíntotas verticais.

Passo 5

No intervalo de até , a função passa por infinitas dessas assíntotas verticais, já que pode ser igual a qualquer múltiplo de negativo, como , , , e assim por diante. Isso significa que a função possui descontinuidades infinitas no intervalo de integração.

Passo 6

Portanto, além do limite de integração ser infinito, a função apresenta descontinuidades infinitas no intervalo considerado. Isso confirma que a integral é imprópria por ambas as razões mencionadas.

Resposta

A integral é imprópria porque possui um limite de integração infinito e a função tem descontinuidades infinitas (assíntotas verticais) no intervalo de integração.

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