Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 28.
.

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é uma técnica de derivação usada quando temos uma função dividida por outra. Precisamos conhecer as derivadas das funções básicas e aplicar corretamente essa regra.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador:
  • Numerador ( ):
  • Denominador ( ):

Passo 3

A regra do quociente nos diz que a derivada de uma função na forma é dada por:
Aqui, é a derivada de e é a derivada de .

Passo 4

Vamos calcular , a derivada do numerador :

Passo 5

Agora, vamos calcular , a derivada do denominador :

Passo 6

Aplicando a regra do quociente, substituímos , , e na fórmula:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:

Resposta

A derivada da função é:

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A identidade algébrica
pode ser demonstrada fazendo-se a divisão de por ; ou por verificação direta, efetuando a multiplicação indicada no segundo membro. Troque por e por nessa identidade e utilize a nova identidade assim obtida para demonstrar a fórmula .
32
Dada a função , calcule , etc. Demonstre que a derivada -ésima é dada por
33
Faça o gráfico de . Encontre as retas tangente e normal a essa curva num ponto genérico de abscissa . Faça o gráfico da derivada (ou declive da tangente) e interprete-o, geometricamente, em face do gráfico da função original.
Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 28.
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Calcule os limites das funções:
Calcule os limites das funções: