A identidade algébrica
pode ser demonstrada fazendo-se a divisão de
por
; ou por verificação direta, efetuando a multiplicação indicada no segundo membro. Troque
por
e
por
nessa identidade e utilize a nova identidade assim obtida para demonstrar a fórmula
.
32
Dada a função
, calcule
, etc. Demonstre que a derivada
-ésima é dada por
33
Faça o gráfico de
. Encontre as retas tangente e normal a essa curva num ponto genérico de abscissa
. Faça o gráfico da derivada (ou declive da tangente)
e interprete-o, geometricamente, em face do gráfico da função original.
32
Dada a função
Faça o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular as derivadas da função
várias vezes, ou seja,
,
,
, e assim por diante. Além disso, precisamos demonstrar que a derivada
-ésima dessa função é dada por:
Para resolver isso, vamos usar o regra do poder da derivada, que é uma das ferramentas básicas do cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a aplicação da regra do poder. Sabemos que:
A regra do poder nos diz que, se
, então:
Vamos aplicar isso para encontrar a primeira derivada.
Passo 3
Calculando a primeira derivada
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
derivando
:
Passo 5
Vamos para a terceira derivada
:
Passo 6
Percebemos um padrão nas derivadas:
Observamos que os coeficientes seguem a sequência dos fatoriais e alternam sinais. Vamos generalizar isso para a
-ésima derivada.
Passo 7
Para a
-ésima derivada, notamos que:
- O coeficiente é
multiplicado por (fatorial de ). - A potência de
é .
Portanto, a fórmula geral fica:
Resposta
A derivada
-ésima da função
é dada por:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 28.
.
Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 28.
.
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.
Calcule os limites das funções: