A identidade algébrica
pode ser demonstrada fazendo-se a divisão de por ; ou por verificação direta, efetuando a multiplicação indicada no segundo membro. Troque por e por nessa identidade e utilize a nova identidade assim obtida para demonstrar a fórmula .
32
Dada a função , calcule , etc. Demonstre que a derivada -ésima é dada por
33
Faça o gráfico de . Encontre as retas tangente e normal a essa curva num ponto genérico de abscissa . Faça o gráfico da derivada (ou declive da tangente) e interprete-o, geometricamente, em face do gráfico da função original.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular as derivadas da função várias vezes, ou seja, , , , e assim por diante. Além disso, precisamos demonstrar que a derivada -ésima dessa função é dada por:
Para resolver isso, vamos usar o regra do poder da derivada, que é uma das ferramentas básicas do cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da regra do poder. Sabemos que:
A regra do poder nos diz que, se , então:
Vamos aplicar isso para encontrar a primeira derivada.

Passo 3

Calculando a primeira derivada :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada derivando :

Passo 5

Vamos para a terceira derivada :

Passo 6

Percebemos um padrão nas derivadas:
Observamos que os coeficientes seguem a sequência dos fatoriais e alternam sinais. Vamos generalizar isso para a -ésima derivada.

Passo 7

Para a -ésima derivada, notamos que:
  1. O coeficiente é multiplicado por (fatorial de ).
  2. A potência de é .
Portanto, a fórmula geral fica:

Resposta

A derivada -ésima da função é dada por:

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 28.
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Calcule os limites das funções: