Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 28.
.
Passo 1
Então, a gente tem uma função multiplicando duas outras funções:
. O que precisamos fazer aqui é calcular a derivada dessa função. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente da regra do produto, que serve para derivar funções que são produtos de duas ou mais funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra do produto. Se você tem duas funções, digamos
e
, a derivada do produto delas é dada por:
Ou seja, você deriva a primeira função, multiplica pela segunda e depois adiciona a primeira função multiplicada pela derivada da segunda.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, vamos chamar:
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
.
Passo 4
Calculando a derivada de
:
E a derivada de
:
Passo 5
Agora, aplicando a regra do produto:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, distribuímos
na primeira parte:
Então:
Passo 7
Agora, distribuímos
na segunda parte:
Então:
Passo 8
Agora, somamos as duas partes que derivamos:
Vamos juntar os termos semelhantes:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 28.
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Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 28.
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A identidade algébrica
pode ser demonstrada fazendo-se a divisão de
por
; ou por verificação direta, efetuando a multiplicação indicada no segundo membro. Troque
por
e
por
nessa identidade e utilize a nova identidade assim obtida para demonstrar a fórmula
.
32
Dada a função , calcule
, etc. Demonstre que a derivada
-ésima é dada por
32
Dada a função
33
Faça o gráfico de . Encontre as retas tangente e normal a essa curva num ponto genérico de abscissa
. Faça o gráfico da derivada (ou declive da tangente)
e interprete-o, geometricamente, em face do gráfico da função original.
Faça o gráfico de
Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 28.
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