Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 28.
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Passo 1

Então, a gente tem uma função multiplicando duas outras funções: . O que precisamos fazer aqui é calcular a derivada dessa função. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente da regra do produto, que serve para derivar funções que são produtos de duas ou mais funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra do produto. Se você tem duas funções, digamos e , a derivada do produto delas é dada por:
Ou seja, você deriva a primeira função, multiplica pela segunda e depois adiciona a primeira função multiplicada pela derivada da segunda.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, vamos chamar:
Agora, precisamos encontrar as derivadas de e .

Passo 4

Calculando a derivada de :
E a derivada de :

Passo 5

Agora, aplicando a regra do produto:
Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, distribuímos na primeira parte:
Então:

Passo 7

Agora, distribuímos na segunda parte:
Então:

Passo 8

Agora, somamos as duas partes que derivamos:
Vamos juntar os termos semelhantes:

Resposta

A derivada da função é:

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Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 28.
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A identidade algébrica
pode ser demonstrada fazendo-se a divisão de por ; ou por verificação direta, efetuando a multiplicação indicada no segundo membro. Troque por e por nessa identidade e utilize a nova identidade assim obtida para demonstrar a fórmula .
32
Dada a função , calcule , etc. Demonstre que a derivada -ésima é dada por
33
Faça o gráfico de . Encontre as retas tangente e normal a essa curva num ponto genérico de abscissa . Faça o gráfico da derivada (ou declive da tangente) e interprete-o, geometricamente, em face do gráfico da função original.
Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 28.
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