Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 28.
.
Passo 1
A gente precisa calcular a derivada da função
. Isso faz parte do cálculo diferencial, especificamente usando a regra do poder para derivar funções que envolvem potências de
. Vamos precisar simplificar a função antes de derivar para facilitar o processo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a raiz quadrada de
como uma potência com expoente fracionário. Sabemos que:
Então, a função original fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão multiplicando os termos com a mesma base. Quando multiplicamos potências com a mesma base, somamos os expoentes:
Passo 4
Com a função simplificada, podemos aplicar a regra do poder para derivar. A regra do poder diz que:
Aplicando isso à nossa função:
Resposta
A derivada da função
é
.
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A identidade algébrica
pode ser demonstrada fazendo-se a divisão de
por
; ou por verificação direta, efetuando a multiplicação indicada no segundo membro. Troque
por
e
por
nessa identidade e utilize a nova identidade assim obtida para demonstrar a fórmula
.
32
Dada a função , calcule
, etc. Demonstre que a derivada
-ésima é dada por
32
Dada a função
33
Faça o gráfico de . Encontre as retas tangente e normal a essa curva num ponto genérico de abscissa
. Faça o gráfico da derivada (ou declive da tangente)
e interprete-o, geometricamente, em face do gráfico da função original.
Faça o gráfico de