Calcule as derivadas das funçōes: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é essencial quando temos funções compostas. Além disso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas como o seno e a tangente, e também funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos a parte interna da função seno. Vamos chamar de o que está dentro do seno:
Agora, nossa função fica:

Passo 3

Para derivar , usamos a Regra da Cadeia. A derivada de em relação a é:
Então, precisamos agora encontrar .

Passo 4

Vamos derivar . Aqui, temos um produto de duas funções: e . Usamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de é:
Aplicando isso, temos:

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
    Aqui, usamos a Regra da Cadeia novamente. A derivada de é , onde .

Passo 6

Agora, substituímos as derivadas encontradas de volta em :
Podemos fatorar e para simplificar:

Passo 7

Agora que temos , voltamos à derivada de :

Resposta

A derivada da função é:

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