Calcule as derivadas das funções: f(x) = (x + x^(1/3)) / (x^2 + 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Aqui, vamos trabalhar com derivadas, mais especificamente usando a regra do quociente, que é útil quando temos uma função dividida por outra função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos precisar para aplicar a regra do quociente. Vamos chamar o numerador de e o denominador de :

Passo 3

A regra do quociente diz que a derivada de é:
Então, precisamos calcular as derivadas de e .

Passo 4

Vamos calcular :
A derivada de é 1, e a derivada de é usando a regra do poder. Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
A derivada de é e a derivada de uma constante é 0. Então:

Passo 6

Agora que temos e , vamos substituir na fórmula da regra do quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador passo a passo. Primeiro, distribuímos por :
Simplificando:

Passo 8

Agora, simplificamos a segunda parte do numerador:

Passo 9

Subtraímos a segunda parte do numerador:

Passo 10

Então, substituímos de volta na expressão da derivada:

Resposta

A derivada da função é:

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