Calcule as derivadas da funções: f(x) = (2 - x + x^3) / (2 - x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é calcular a derivada da função . Isso está dentro da matéria de cálculo, mais especificamente no estudo de derivadas de funções que são quocientes. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente, que é uma técnica para derivar funções que estão divididas umas pelas outras.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que se encaixam na regra do quociente. A função pode ser escrita como:
onde:
A regra do quociente nos diz que a derivada de é:

Passo 3

Vamos calcular cada parte dessa expressão. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de e .
Para :
Para :

Passo 4

Agora que temos e , vamos substituir na fórmula da regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador passo a passo.

Passo 5

Primeiro, expandimos os termos no numerador:
Agora, somamos essas duas partes:

Passo 6

Agora, colocamos isso de volta na expressão da derivada:
Se quiser, podemos simplificar um pouco mais ou deixar assim, dependendo do que for pedido. Nesse caso, vamos deixar assim mesmo.

Resposta

A derivada da função é:

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