Use a regra do quociente para obter as derivadas de x / (x^2 + 1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a derivada da função x / (x^2 + 1) usando a regra do quociente. Para isso, vamos precisar conhecer como aplicar essa regra passo a passo.

Passo 2

A regra do quociente é usada quando queremos derivar uma função que é o quociente de duas outras funções. Se temos uma função , a derivada de f é dada por:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas de u(x) e v(x) separadamente.

Passo 3

No nosso caso, a função está escrita como x / (x^2 + 1). Então, identificamos:
Agora, vamos encontrar as derivadas de u(x) e v(x).

Passo 4

Calculando as derivadas:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente substituindo u(x), v(x), e na fórmula:
Simplificando o numerador:
Então:

Resposta

A derivada de x / (x^2 + 1) é .

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