Calcule o polinômio de Taylor em 0 , de ordem 3, das funções
f(x)=integral0^x e^t^2 d t g(x)=integralx^2^pi sin (t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o polinômio de Taylor de ordem 3 em 0 para duas funções:
Para isso, vamos usar o conceito de polinômio de Taylor, que aproxima uma função por um polinômio em torno de um ponto, nesse caso, em 0. Precisamos achar os termos até para cada função.

Passo 2

Vamos começar com a função e^t^2 = 1 + t^2 + t^42! + t^63! + dots .
Primeiro, sabemos que a série de Taylor do e^t^2 approx 1 + t^2 em torno de 0 é:
f(x) approx integral0^x (1 + t^2) dt = integral0^x 1 , dt + integral0^x t^2 , dt
Como queremos um polinômio de ordem 3, vamos considerar apenas os termos até integral0^x 1 , dt = x :
integral0^x t^2 , dt = x^33
Agora, vamos integrar termo a termo de 0 até f(x) approx x + x^33 :
Calculando as integrais:
Então, o polinômio de Taylor de ordem 3 para é:

Passo 3

Agora, vamos para a função g(x) = integral0^pi sin(t) , dt - integral0^x^2 sin(t) , dt .
Primeiro, note que podemos reescrever essa integral como:
integral0^pi sin(t) , dt = 2
A integral de g(x) = 2 - integral0^x^2 sin(t) , dt de 0 a sin(t) = t - t^36 + t^5120 - dots é uma constante:
sin(t) approx t - t^36
Então, temos:
integral0^x^2 sin(t) , dt approx integral0^x^2 (t - t^36) dt
Agora, vamos expandir integral0^x^2 t , dt = (x^2)^22 = x^42 em série de Taylor:
integral0^x^2 t^36 , dt = (x^2)^424 = x^824
Novamente, como queremos até integral0^x^2 sin(t) , dt approx 0 , vamos considerar apenas os primeiros dois termos:
g(x) approx 2 - 0 = 2
Agora, integramos de 0 até :
Calculando as integrais:
Como queremos termos até , podemos ignorar e superiores. Assim:
Portanto:

Passo 4

Resumindo, os polinômios de Taylor de ordem 3 em 0 para as funções são:
Para P3(x) = x + x^33 :
P3(x) = 2
Para :

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 3 em 0 para as funções são:
P3(x) = x + x^33 e P3(x) = 2

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