Calcule o polinômio de Taylor em 0 , de ordem 3, das funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o polinômio de Taylor de ordem 3 em 0 para duas funções:
Para isso, vamos usar o conceito de polinômio de Taylor, que aproxima uma função por um polinômio em torno de um ponto, nesse caso, em 0. Precisamos achar os termos até
para cada função.
Passo 2
Vamos começar com a função
.
Primeiro, sabemos que a série de Taylor do
em torno de 0 é:
Como queremos um polinômio de ordem 3, vamos considerar apenas os termos até
:
Agora, vamos integrar termo a termo de 0 até
:
Calculando as integrais:
Então, o polinômio de Taylor de ordem 3 para
é:
Passo 3
Agora, vamos para a função
.
Primeiro, note que podemos reescrever essa integral como:
A integral de
de 0 a
é uma constante:
Então, temos:
Agora, vamos expandir
em série de Taylor:
Novamente, como queremos até
, vamos considerar apenas os primeiros dois termos:
Agora, integramos de 0 até
:
Calculando as integrais:
Como queremos termos até
, podemos ignorar
e superiores. Assim:
Portanto:
Passo 4
Resumindo, os polinômios de Taylor de ordem 3 em 0 para as funções são:
Para
:
Para
:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 3 em 0 para as funções são:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas das funções a seguir (esclareça antes o domínio natural da função):
©
©
Esboce o gráfico da função
quando
é uma das funções a seguir (
é parte inteira de
)
b)
b)