Calcule o polinômio de Taylor em 0 , de ordem 3, das funções

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o polinômio de Taylor de ordem 3 em 0 para duas funções:
Para isso, vamos usar o conceito de polinômio de Taylor, que aproxima uma função por um polinômio em torno de um ponto, nesse caso, em 0. Precisamos achar os termos até para cada função.

Passo 2

Vamos começar com a função .
Primeiro, sabemos que a série de Taylor do em torno de 0 é:
Como queremos um polinômio de ordem 3, vamos considerar apenas os termos até :
Agora, vamos integrar termo a termo de 0 até :
Calculando as integrais:
Então, o polinômio de Taylor de ordem 3 para é:

Passo 3

Agora, vamos para a função .
Primeiro, note que podemos reescrever essa integral como:
A integral de de 0 a é uma constante:
Então, temos:
Agora, vamos expandir em série de Taylor:
Novamente, como queremos até , vamos considerar apenas os primeiros dois termos:
Agora, integramos de 0 até :
Calculando as integrais:
Como queremos termos até , podemos ignorar e superiores. Assim:
Portanto:

Passo 4

Resumindo, os polinômios de Taylor de ordem 3 em 0 para as funções são:
Para :
Para :

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 3 em 0 para as funções são:

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Calcule as derivadas das funções a seguir (esclareça antes o domínio natural da função):
©
Esboce o gráfico da função quando é uma das funções a seguir ( é parte inteira de )
b)
,