Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . A matéria envolvida aqui são as derivadas e, mais especificamente, vamos usar regras de derivação como a regra do quociente e a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar conhecer como derivar funções exponenciais, tangentes e a função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a função é uma fração, ou seja, temos uma função de quociente: uma função dividida por outra. Para derivar isso, vamos usar a Regra do Quociente, que diz que se temos , a derivada é dada por:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos começar derivando . Isso é um produto de duas funções: e . Para derivar um produto, usamos a Regra do Produto:
Sabemos que:
E para derivar , usamos a Regra da Cadeia:
Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar . Sabemos que:

Passo 5

Com e calculados, vamos aplicar a Regra do Quociente:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Racionalize o denominador:
Seja
Calcule e obtenha seu domínio.
Mostre que para os valores nos quais a série converge; Sugestão: Note que .
Determine o valor da soma . Justifique sua resposta.