Seja
Calcule e obtenha seu domínio.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede: temos uma função definida em partes e precisamos calcular a sua derivada e descobrir em quais valores de essa derivada está definida, ou seja, o domínio de . Para isso, vamos precisar saber como derivar funções definidas por partes e lembrar das regras básicas de derivação.

Passo 2

A função está definida da seguinte forma:
Vamos derivar cada pedaço dessa função separadamente.

Passo 3

Primeira parte:
Aqui, . A derivada de uma constante é sempre zero. Então:

Passo 4

Segunda parte:
Aqui, , que é uma função linear. Para derivar, aplicamos a regra de derivação das funções lineares:
Assim, a derivada fica:

Passo 5

Terceira parte:
Aqui, . Podemos reescrever essa função como para facilitar a derivação. Aplicando a regra da potência e a regra da cadeia:
Portanto:

Passo 6

Determinação do domínio de :
Para encontrar o domínio de , precisamos verificar onde cada derivada está definida:
  1. Para : está definida para todos os .
  2. Para : está definida para todos os nesse intervalo.
  3. Para : está definida desde que o denominador não seja zero. Isso acontece quando , ou seja, .
Portanto, a derivada está definida para todos os reais, exceto em .

Resposta

A derivada de é dada por:
E o domínio de é todos os números reais exceto . Ou seja,
í

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Escreva na notação mais simples para a forma radical:
Seja
é derivável em ? E em ? Justifique.
Racionalize o denominador:
Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.