Vamos entender o que o exercício pede: temos uma função definida em partes e precisamos calcular a sua derivada e descobrir em quais valores de essa derivada está definida, ou seja, o domínio de . Para isso, vamos precisar saber como derivar funções definidas por partes e lembrar das regras básicas de derivação.
Passo 2
A função está definida da seguinte forma:
Vamos derivar cada pedaço dessa função separadamente.
Passo 3
Primeira parte:
Aqui, . A derivada de uma constante é sempre zero. Então:
Passo 4
Segunda parte:
Aqui, , que é uma função linear. Para derivar, aplicamos a regra de derivação das funções lineares:
Assim, a derivada fica:
Passo 5
Terceira parte:
Aqui, . Podemos reescrever essa função como para facilitar a derivação. Aplicando a regra da potência e a regra da cadeia:
Portanto:
Passo 6
Determinação do domínio de :
Para encontrar o domínio de , precisamos verificar onde cada derivada está definida:
Para : está definida para todos os .
Para : está definida para todos os nesse intervalo.
Para : está definida desde que o denominador não seja zero. Isso acontece quando , ou seja, .
Portanto, a derivada está definida para todos os reais, exceto em .
Resposta
A derivada de é dada por:
E o domínio de é todos os números reais exceto. Ou seja,