Determine dois números positivos cujo produto seja 192 e a soma do primeiro com o triplo do segundo seja mínima.

Passo 1

Vamos resolver um problema de otimização onde precisamos encontrar dois números positivos. O produto desses números deve ser 192 e queremos que a soma do primeiro número com o triplo do segundo seja a menor possível. Para isso, vamos usar conceitos de funções e cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os dois números de e . Sabemos que:
Isso significa que . Agora, queremos minimizar a soma , que é dada por:
Substituindo na equação de :

Passo 3

Agora, temos a função que queremos minimizar:
Para encontrar o valor mínimo dessa função, vamos calcular a derivada de em relação a e igualar a zero. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, e o ponto onde ela é zero é onde a função pode ter um mínimo ou máximo.

Passo 4

Calculando a derivada de :
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 5

Resolvendo a equação :
Como estamos procurando números positivos, descartamos a solução negativa.

Passo 6

Agora que encontramos , vamos encontrar o valor correspondente de :

Passo 7

Para confirmar que encontramos um mínimo, podemos verificar a segunda derivada ou observar que tende ao infinito quando se aproxima de zero ou de infinito, indicando que é realmente o ponto de mínimo.

Resposta

Os dois números positivos são e .

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.
Seja
é contínua em ? ? Justifique.
Seja
é derivável em ? E em ? Justifique.
Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.