Determine dois números positivos cujo produto seja 192 e a soma do primeiro com o triplo do segundo seja mínima.
Passo 1
Vamos resolver um problema de otimização onde precisamos encontrar dois números positivos. O produto desses números deve ser 192 e queremos que a soma do primeiro número com o triplo do segundo seja a menor possível. Para isso, vamos usar conceitos de funções e cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os dois números de
e
. Sabemos que:
Isso significa que
. Agora, queremos minimizar a soma
, que é dada por:
Substituindo
na equação de
:
Passo 3
Agora, temos a função que queremos minimizar:
Para encontrar o valor mínimo dessa função, vamos calcular a derivada de
em relação a
e igualar a zero. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, e o ponto onde ela é zero é onde a função pode ter um mínimo ou máximo.
Passo 4
Calculando a derivada de
:
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Resolvendo a equação
:
Como estamos procurando números positivos, descartamos a solução negativa.
Passo 6
Agora que encontramos
, vamos encontrar o valor correspondente de
:
Passo 7
Para confirmar que encontramos um mínimo, podemos verificar a segunda derivada ou observar que
tende ao infinito quando
se aproxima de zero ou de infinito, indicando que
é realmente o ponto de mínimo.
Resposta
Os dois números positivos são
e
.