Determine dois números positivos cujo produto seja 192 e a soma do primeiro com o triplo do segundo seja mínima.
Passo 1
Vamos resolver um problema de otimização onde precisamos encontrar dois números positivos. O produto desses números deve ser 192 e queremos que a soma do primeiro número com o triplo do segundo seja a menor possível. Para isso, vamos usar conceitos de funções e cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os dois números de e . Sabemos que:
Isso significa que . Agora, queremos minimizar a soma , que é dada por:
Substituindo na equação de :
Passo 3
Agora, temos a função que queremos minimizar:
Para encontrar o valor mínimo dessa função, vamos calcular a derivada de em relação a e igualar a zero. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, e o ponto onde ela é zero é onde a função pode ter um mínimo ou máximo.
Passo 4
Calculando a derivada de :
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Resolvendo a equação :
Como estamos procurando números positivos, descartamos a solução negativa.
Passo 6
Agora que encontramos , vamos encontrar o valor correspondente de :
Passo 7
Para confirmar que encontramos um mínimo, podemos verificar a segunda derivada ou observar que tende ao infinito quando se aproxima de zero ou de infinito, indicando que é realmente o ponto de mínimo.