Seja f(x) = { 2x, se x <= 0; 2x - x^2, se 0 < x < 2; 2 - 2x, se x >= 2 }
f é derivável em x = 0 ? E em x = 2 ? Justifique.

Passo 1

O exercício pede para verificar se a função definida por partes é derivável nos pontos e . Vamos usar conceitos de derivadas e limites para responder isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a derivabilidade em .
Para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e as derivadas pela esquerda e pela direita devem existir e ser iguais.

Passo 3

Verificamos a continuidade em :
  • Limite quando se aproxima de 0 pela esquerda: .
  • Limite quando se aproxima de 0 pela direita: .
  • .
Como todos os valores são iguais, é contínua em .

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas pela esquerda e pela direita em :
  • Derivada pela esquerda: .
  • Derivada pela direita: .
Como as derivadas são iguais, é derivável em .

Passo 5

Agora, vamos analisar a derivabilidade em .
Primeiro, verificamos a continuidade em :
  • Limite quando se aproxima de 2 pela esquerda: .
  • Limite quando se aproxima de 2 pela direita: .
  • .
Como os limites laterais não são iguais ( ), a função não é contínua em .

Resposta

A função é derivável em porque é contínua nesse ponto e as derivadas pela esquerda e pela direita são iguais. Porém, em , não é derivável, já que não é contínua nesse ponto.

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