O exercício pede para verificar se a função definida por partes é derivável nos pontos e . Vamos usar conceitos de derivadas e limites para responder isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a derivabilidade em .
Para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e as derivadas pela esquerda e pela direita devem existir e ser iguais.
Passo 3
Verificamos a continuidade em :
Limite quando se aproxima de 0 pela esquerda: .
Limite quando se aproxima de 0 pela direita: .
.
Como todos os valores são iguais, é contínua em .
Passo 4
Agora, calculamos as derivadas pela esquerda e pela direita em :
Derivada pela esquerda: .
Derivada pela direita: .
Como as derivadas são iguais, é derivável em .
Passo 5
Agora, vamos analisar a derivabilidade em .
Primeiro, verificamos a continuidade em :
Limite quando se aproxima de 2 pela esquerda: .
Limite quando se aproxima de 2 pela direita: .
.
Como os limites laterais não são iguais (), a função não é contínua em .
Resposta
A função é derivável em porque é contínua nesse ponto e as derivadas pela esquerda e pela direita são iguais. Porém, em , não é derivável, já que não é contínua nesse ponto.