Calcule as derivadas: g(x) = x^2 / (x^3 + 1)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas, mais especificamente a regra do quociente, que é usada quando temos uma função dividida por outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador:
  • Numerador:
  • Denominador:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas dessas partes:
  • Derivada do numerador: (usando a regra do poder, onde )
  • Derivada do denominador: (também usando a regra do poder)

Passo 4

Com essas derivadas em mãos, aplicamos a regra do quociente, que diz que a derivada de é:
Substituindo as funções que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
  1. Multiplicando por :
  1. Multiplicando por :
Agora, substituindo de volta no numerador:

Passo 6

Finalmente, colocando tudo junto, temos a derivada simplificada:

Resposta

A derivada de é:

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