Sabendo-se que o custo total de produção de x calculadoras por dia é de R \frac{d}{d x}(\cos(x)) = -\sin(x) d/dx cos(x) = -sen(x) e o preço unitário é de e o preço unitário é de . Cual deve ser a produção diária para que o lucro seja máximo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o custo total de produzir calculadoras por dia, que é dado por reais, e o preço de venda de cada calculadora é reais. Nosso objetivo aqui é descobrir quantas calculadoras a gente precisa produzir por dia para obter o maior lucro possível. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de funções de lucro e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o lucro é o que sobra depois de subtrair o custo total das receitas totais. Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular a Receita Total (RT). Como o preço de cada calculadora é e a gente vende calculadoras, a Receita Total é:
ç

Passo 4

Agora, vamos montar a função Lucro (L) usando a fórmula que mencionamos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão do lucro:
Então, temos:

Passo 6

Para encontrar o máximo lucro, precisamos determinar o valor de que torna a função máxima. Como essa é uma função do segundo grau com coeficiente negativo em , sabemos que o gráfico é uma parábola que abre para baixo, e o máximo ocorre no vértice da parábola.

Passo 7

A fórmula para encontrar o vértice de uma parábola da forma é:
Aqui, e . Vamos substituir na fórmula:

Passo 8

Agora, vamos calcular o valor de :
Como não dá para produzir uma fração de calculadora, arredondamos para o número inteiro mais próximo. Então, calculadoras por dia.

Resposta

A produção diária que maximiza o lucro é de 3 calculadoras.

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