Encontre os extremos, os pontos de inflexão, analise o crescimento e a concavidade, se existirem da função .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos, os pontos de inflexão, e analisar o crescimento e a concavidade da função . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas: a primeira derivada nos ajuda a encontrar os extremos e entender onde a função está crescendo ou decrescendo, enquanto a segunda derivada nos dá informações sobre a concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos indica a inclinação da função em cada ponto.
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem estar os extremos), igualamos a primeira derivada a zero e resolvemos para :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Então, as soluções são:
Passo 4
Com os valores de encontrados, vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos. Para isso, vamos analisar a segunda derivada.
Primeiro, calculamos a segunda derivada de :
Passo 5
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
Para :
Como , isso indica que é um ponto de mínimo.
Para :
Como , isso indica que é um ponto de máximo.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, que ocorrem onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde .
Resolvendo para :
Então, há um ponto de inflexão em .
Passo 7
Para analisar o crescimento e a concavidade da função:
Crescimento/Decrescimento:
Quando , a função está crescendo.
Quando , a função está decrescendo.
Com os pontos críticos em e , podemos dividir a linha dos números reais em intervalos e testar o sinal de em cada intervalo.