Encontre os extremos, os pontos de inflexão, analise o crescimento e a concavidade, se existirem da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos, os pontos de inflexão, e analisar o crescimento e a concavidade da função
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas: a primeira derivada nos ajuda a encontrar os extremos e entender onde a função está crescendo ou decrescendo, enquanto a segunda derivada nos dá informações sobre a concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos indica a inclinação da função em cada ponto.
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem estar os extremos), igualamos a primeira derivada a zero e resolvemos para
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Então, as soluções são:
Passo 4
Com os valores de
encontrados, vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos. Para isso, vamos analisar a segunda derivada.
Primeiro, calculamos a segunda derivada de
:
Passo 5
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de mínimo.
Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de máximo.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, que ocorrem onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde
.
Resolvendo para
:
Então, há um ponto de inflexão em
.
Passo 7
Para analisar o crescimento e a concavidade da função:
- Crescimento/Decrescimento:
- Quando
, a função está crescendo. - Quando
, a função está decrescendo.
- Quando
Com os pontos críticos em
e
, podemos dividir a linha dos números reais em intervalos e testar o sinal de
em cada intervalo.
-
Para
: escolha Crescendo. -
Para
: escolha Decrescendo. -
Para
: escolha Crescendo. -
Concavidade:
- Quando
, a função é côncava para cima. - Quando
, a função é côncava para baixo.
- Quando
A segunda derivada
.
- Quando
: → Concavidade para baixo. - Quando
: → Concavidade para cima.
Resposta
Os extremos da função
são:
- Máximo local em
- Mínimo local em
Há um ponto de inflexão em
.
Análise do crescimento:
- Crescente em
e - Decrescente em
Análise da concavidade:
- Concava para baixo em
- Concava para cima em