Encontre os extremos, os pontos de inflexão, analise o crescimento e a concavidade, se existirem da função f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos, os pontos de inflexão, e analisar o crescimento e a concavidade da função . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas: a primeira derivada nos ajuda a encontrar os extremos e entender onde a função está crescendo ou decrescendo, enquanto a segunda derivada nos dá informações sobre a concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos indica a inclinação da função em cada ponto.

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem estar os extremos), igualamos a primeira derivada a zero e resolvemos para :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Então, as soluções são:

Passo 4

Com os valores de encontrados, vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos. Para isso, vamos analisar a segunda derivada.
Primeiro, calculamos a segunda derivada de :

Passo 5

Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
Para :
Como , isso indica que é um ponto de mínimo.
Para :
Como , isso indica que é um ponto de máximo.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, que ocorrem onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde .
Resolvendo para :
Então, há um ponto de inflexão em .

Passo 7

Para analisar o crescimento e a concavidade da função:
  • Crescimento/Decrescimento:
    • Quando , a função está crescendo.
    • Quando , a função está decrescendo.
Com os pontos críticos em e , podemos dividir a linha dos números reais em intervalos e testar o sinal de em cada intervalo.
  • Para : escolha
    Crescendo.
  • Para : escolha
    Decrescendo.
  • Para : escolha
    Crescendo.
  • Concavidade:
    • Quando , a função é côncava para cima.
    • Quando , a função é côncava para baixo.
A segunda derivada .
  • Quando : → Concavidade para baixo.
  • Quando : → Concavidade para cima.

Resposta

Os extremos da função são:
  • Máximo local em
  • Mínimo local em
Há um ponto de inflexão em .
Análise do crescimento:
  • Crescente em e
  • Decrescente em
Análise da concavidade:
  • Concava para baixo em
  • Concava para cima em

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