Utilizando os testes de
e
derivadas, examine cada uma das seguintes funções no que concerne a máximos e mínimos (teste os pontos).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar a função
usando os testes de derivadas de primeira e segunda ordem para encontrar os máximos e mínimos. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Então, vamos calcular
e
:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver esse sistema de equações. Da equação (1), podemos isolar
:
Substituindo isso na equação (2):
Agora, substituindo
na expressão de
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 4
Vamos agora usar o teste da segunda derivada para determinar se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, calculamos as segundas derivadas parciais:
Calculamos o discriminante
:
Como
e
, isso indica que o ponto crítico
é um máximo local.
Resposta
A função
possui um máximo local no ponto
.
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Utilizando os testes de
e
derivadas, examine cada uma das seguintes funções no que concerne a máximos e mínimos (teste os pontos).
Calcule as derivadas implícitas indicadas:
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e
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