Utilizando os testes de e derivadas, examine cada uma das seguintes funções no que concerne a máximos e mínimos (teste os pontos).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar a função usando os testes de derivadas de primeira e segunda ordem para encontrar os máximos e mínimos. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Então, vamos calcular e :

Passo 3

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver esse sistema de equações. Da equação (1), podemos isolar :
Substituindo isso na equação (2):
Agora, substituindo na expressão de :
Então, o ponto crítico é .

Passo 4

Vamos agora usar o teste da segunda derivada para determinar se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, calculamos as segundas derivadas parciais:
Calculamos o discriminante :
Como e , isso indica que o ponto crítico é um máximo local.

Resposta

A função possui um máximo local no ponto .

Exercícios relacionados

Utilizando os testes de e derivadas, examine cada uma das seguintes funções no que concerne a máximos e mínimos (teste os pontos).
Calcule as derivadas implícitas indicadas:
pt) Calcule os limites:
Utilizando os testes de e derivadas, examine cada uma das seguintes funções no que concerne a máximos e mínimos (teste os pontos).