Nos problemas 7 e 8 resolva o PVI.
{ (x-1) y'' - x y' + y = 0, y(0) = -2, y'(0) = 6 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos pede para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI), que é uma equação diferencial com condições específicas para a função e sua derivada em um ponto. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e métodos de séries de potências. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos simplificar a equação diferencial para facilitar a resolução. Vamos dividir toda a equação por para deixar isolado:
Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver equações diferenciais com coeficientes variáveis é assumir uma solução em série de potências. Vamos supor que a solução possa ser escrita como uma série:
Calculamos as derivadas:

Passo 4

Substituindo , e na equação diferencial simplificada:
Vamos ajustar os índices das somas para igualar as potências de . Após simplificar, obtemos uma relação de recorrência para os coeficientes .

Passo 5

Após ajustar os índices e simplificar, chegamos na seguinte relação de recorrência:
Isso indica que cada coeficiente é igual ao coeficiente anterior dividido por .

Passo 6

Resolvendo a relação de recorrência, percebemos que:
Portanto, a solução geral da equação diferencial pode ser escrita como:

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a segunda solução independente, já que a equação é de segunda ordem. Usamos o método de redução de ordem. Sabemos que uma solução é . A segunda solução pode ser encontrada assumindo:
Onde . Calculando essa integral, obtemos uma solução envolvendo a função integral exponencial .

Passo 8

Assim, a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 9

Aplicando as condições iniciais e , substituímos na solução geral e em sua derivada para formar um sistema de equações que nos permitirá resolver e .

Resposta

Após resolver, encontramos que a solução do PVI é:

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