Nos problemas 7 e 8 resolva o PVI.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos pede para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI), que é uma equação diferencial com condições específicas para a função e sua derivada em um ponto. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e métodos de séries de potências. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos simplificar a equação diferencial para facilitar a resolução. Vamos dividir toda a equação por
para deixar
isolado:
Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis.
Passo 3
Uma técnica útil para resolver equações diferenciais com coeficientes variáveis é assumir uma solução em série de potências. Vamos supor que a solução
possa ser escrita como uma série:
Calculamos as derivadas:
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação diferencial simplificada:
Vamos ajustar os índices das somas para igualar as potências de
. Após simplificar, obtemos uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 5
Após ajustar os índices e simplificar, chegamos na seguinte relação de recorrência:
Isso indica que cada coeficiente
é igual ao coeficiente anterior
dividido por
.
Passo 6
Resolvendo a relação de recorrência, percebemos que:
Portanto, a solução geral da equação diferencial pode ser escrita como:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a segunda solução independente, já que a equação é de segunda ordem. Usamos o método de redução de ordem. Sabemos que uma solução é
. A segunda solução pode ser encontrada assumindo:
Onde
. Calculando essa integral, obtemos uma solução envolvendo a função integral exponencial
.
Passo 8
Assim, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 9
Aplicando as condições iniciais
e
, substituímos
na solução geral e em sua derivada para formar um sistema de equações que nos permitirá resolver
e
.
Resposta
Após resolver, encontramos que a solução do PVI é: