Nos problemas de 11 a 15 determine a solução do PVI (PVC)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Equação Diferencial Ordinária de Segunda Ordem. O enunciado é resolver o seguinte PVI (Problema de Valor Inicial):
Para resolver, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares e aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo tudo por
(lembrando que
):
Agora, nossa equação ficou na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, onde o lado direito é igual a zero:
Podemos reescrever isso como:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para
.
Passo 4
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante. Calculamos:
Multiplicamos toda a equação por
:
Passo 5
Integrando ambos os lados:
Agora, integramos novamente para encontrar
:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Vamos supor que
seja uma função do tipo
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Para que isso seja válido para todo
, escolhemos
ou seja,
. Então:
Logo, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, usando
:
Passo 9
Agora, a derivada de
é:
Aplicamos a segunda condição
:
Resposta
A solução do PVI é: