Nos problemas de 11 a 15 determine a solução do PVI (PVC)
{ x*y'' + y' = x ; y(1) = 1 ; y'(1) = -1/2 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Equação Diferencial Ordinária de Segunda Ordem. O enunciado é resolver o seguinte PVI (Problema de Valor Inicial):
Para resolver, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares e aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo tudo por (lembrando que ):
Agora, nossa equação ficou na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Aqui, , e .

Passo 3

Vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, onde o lado direito é igual a zero:
Podemos reescrever isso como:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para .

Passo 4

Para resolver essa equação, usamos o fator integrante. Calculamos:
Multiplicamos toda a equação por :

Passo 5

Integrando ambos os lados:
Agora, integramos novamente para encontrar :
Então, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Vamos supor que seja uma função do tipo .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Para que isso seja válido para todo , escolhemos ou seja, . Então:
Logo, a solução particular é:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, usando :

Passo 9

Agora, a derivada de é:
Aplicamos a segunda condição :

Resposta

A solução do PVI é:

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