Dada a série sumn=1^infty 1n^3-1, quantos primeiros termos da série devemos somar na série para garantir que que o erro desta aproximação seja menor que 0,005.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série infinita e precisamos descobrir quantos primeiros termos dessa série devemos somar para que o erro da aproximação seja menor que 0,005. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e estimação de erros.

Passo 2

Vamos começar verificando se a série converge. Observando que para grande, se comporta como , sabemos que a série é convergente, já que é uma série p com . Portanto, a nossa série original também converge.

Passo 3

Agora, para garantir que o erro da aproximação seja menor que 0,005, precisamos estimar a soma dos termos que estamos deixando de fora, ou seja, a soma a partir de um certo termo até o infinito. Esse erro pode ser aproximado pela série .

Passo 4

Vamos usar a estimativa da soma da série integralN^infty 1x^3 dx = [ -12x^2 ]N^infty = 12N^2 . Sabemos que essa soma pode ser aproximada pela integral . Calculando essa integral:

Passo 5

Queremos que esse erro seja menor que 0,005:
12N^2 < 0,005
Multiplicando ambos os lados por 1 < 0,01N^2 :
100 < N^2
Dividindo ambos os lados por 0,01:
N > 10
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 6

Como deve ser um número inteiro, o menor valor que satisfaz essa inequação é . Portanto, precisamos somar os primeiros 10 termos da série para garantir que o erro seja menor que 0,005.

Resposta

Devemos somar os primeiros 10 termos da série para garantir que o erro da aproximação seja menor que 0,005.

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