Dada a série
, quantos primeiros termos da série devemos somar na série para garantir que que o erro desta aproximação seja menor que 0,005.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série infinita
e precisamos descobrir quantos primeiros termos dessa série devemos somar para que o erro da aproximação seja menor que 0,005. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e estimação de erros.
Passo 2
Vamos começar verificando se a série
converge. Observando que para
grande,
se comporta como
, sabemos que a série
é convergente, já que é uma série p com
. Portanto, a nossa série original também converge.
Passo 3
Agora, para garantir que o erro da aproximação seja menor que 0,005, precisamos estimar a soma dos termos que estamos deixando de fora, ou seja, a soma a partir de um certo termo
até o infinito. Esse erro pode ser aproximado pela série
.
Passo 4
Vamos usar a estimativa da soma da série
. Sabemos que essa soma pode ser aproximada pela integral
. Calculando essa integral:
Passo 5
Queremos que esse erro seja menor que 0,005:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por 0,01:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 6
Como
deve ser um número inteiro, o menor valor que satisfaz essa inequação é
. Portanto, precisamos somar os primeiros 10 termos da série para garantir que o erro seja menor que 0,005.
Resposta
Devemos somar os primeiros 10 termos da série para garantir que o erro da aproximação seja menor que 0,005.