Escreva se a série é convergente ou divergente. Deixe claro o teste usado. sumn=1^infty ln (n)raizn.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries infinitas, especificamente o Teste da Integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a série. Temos , onde é o logaritmo natural de e é a raiz quadrada de . Queremos saber se a soma desses termos tende a um valor finito ou não quando vai ao infinito.

Passo 3

Para determinar a convergência ou divergência dessa série, vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste diz que se é uma função positiva, contínua e decrescente para (algum inteiro ), então a série e a integral convergem ou divergem juntas.

Passo 4

Vamos definir f'(x) = 1x cdot raizx - ln(x)2 x^3/2 = 2 - ln(x)2 x^3/2 . Precisamos verificar se essa função é positiva, contínua e decrescente para :
  • Positiva: Para , e , então .
  • Contínua: A fun��ão é composta por funções contínuas no intervalo considerado.
  • Decrescente: Vamos derivar para verificar se é decrescente:
Para , , então a função é decrescente.

Passo 5

Agora, aplicamos o Teste da Integral:
integral1^infty ln(x)raizx,dx
Vamos resolver essa integral por partes. Seja integral u , dv = uv - integral v , du = 2 raizx ln(x) - integral 2 raizxx dx = 2 raizx ln(x) - 2 integral x^-1/2 dx e 2 raizx ln(x) - 4 raizx + C . Então, e .
Aplicando a integração por partes:
Resolvendo a integral restante:
Ao avaliar o limite quando tende ao infinito, notamos que cresce sem limite, ou seja, a integral diverge.

Resposta

A série diverge, conforme demonstrado pelo Teste da Integral.

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