Escreva se a série é convergente ou divergente. Deixe claro o teste usado.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries infinitas, especificamente o Teste da Integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a série. Temos
, onde
é o logaritmo natural de
e
é a raiz quadrada de
. Queremos saber se a soma desses termos tende a um valor finito ou não quando
vai ao infinito.
Passo 3
Para determinar a convergência ou divergência dessa série, vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste diz que se
é uma função positiva, contínua e decrescente para
(algum inteiro
), então a série
e a integral
convergem ou divergem juntas.
Passo 4
Vamos definir
. Precisamos verificar se essa função é positiva, contínua e decrescente para
:
- Positiva: Para
, e , então . - Contínua: A fun��ão é composta por funções contínuas no intervalo considerado.
- Decrescente: Vamos derivar
para verificar se é decrescente:
Para
,
, então a função é decrescente.
Passo 5
Agora, aplicamos o Teste da Integral:
Vamos resolver essa integral por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando a integração por partes:
Resolvendo a integral restante:
Ao avaliar o limite quando
tende ao infinito, notamos que
cresce sem limite, ou seja, a integral diverge.
Resposta
A série
diverge, conforme demonstrado pelo Teste da Integral.