Calcule as derivadas parciais
de:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais
e
da função
. Esse tipo de problema faz parte do cálculo diferencial, mais especificamente das derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial em relação a
, que é
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante.
A função é
. Observamos que
é uma constante em relação a
. Então, a derivada de
em relação a
será:
Agora, aplicamos a regra da cadeia para derivar
:
Então, substituindo de volta:
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada parcial em relação a
, que é
. Desta vez,
é tratado como uma constante.
Novamente, a função é
. Aqui temos um produto de
e
, então vamos usar a regra do produto:
Calculando cada parte:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é , já que a derivada do expoente em relação a é 1.
Então, substituindo:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
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Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
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