Calcule as derivadas parciais de: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais e da função . Esse tipo de problema faz parte do cálculo diferencial, mais especificamente das derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial em relação a , que é . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.
A função é . Observamos que é uma constante em relação a . Então, a derivada de em relação a será:
Agora, aplicamos a regra da cadeia para derivar :
Então, substituindo de volta:

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada parcial em relação a , que é . Desta vez, é tratado como uma constante.
Novamente, a função é . Aqui temos um produto de e , então vamos usar a regra do produto:
Calculando cada parte:
  1. A derivada de em relação a é .
  2. A derivada de em relação a é , já que a derivada do expoente em relação a é 1.
Então, substituindo:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Calcule as derivadas parciais de: .
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