Calcule as derivadas parciais
de:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa encontrar as derivadas parciais em relação a
e
, ou seja,
e
. Esse exercício entra na matéria de Cálculo Diferencial de Funções de Várias Variáveis. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a
,
.
Primeiro, identifique as partes da função: temos uma função seno que depende de
, onde
. Então, aplicamos a regra da cadeia.
- Derivada do seno:
. - Agora, precisamos derivar
: - Derivada de
em relação a é 1. - Derivada de
em relação a é .
- Derivada de
- Derivada de
em relação a é .
Juntando tudo:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
,
.
Novamente, usamos a regra da cadeia. Aqui, apenas
aparece dentro da função, então:
- Derivada do seno:
. - Derivada de
onde : - Derivada de
em relação a é .
- Derivada de
- Derivada de
em relação a é .
Juntando tudo:
Portanto,
Resposta
As derivadas parciais são:
e
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Diga (e calcule) em quais pontos existe a derivada parcial
da função (em alguns pontos é necessário recorrer à definição, ao invés de regras de derivação)