Calcule as derivadas parciais de: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar as derivadas parciais em relação a e , ou seja, e . Esse exercício entra na matéria de Cálculo Diferencial de Funções de Várias Variáveis. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a , .
Primeiro, identifique as partes da função: temos uma função seno que depende de , onde . Então, aplicamos a regra da cadeia.
  1. Derivada do seno: .
  2. Agora, precisamos derivar :
    • Derivada de em relação a é 1.
    • Derivada de em relação a é .
  3. Derivada de em relação a é .
Juntando tudo:
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , .
Novamente, usamos a regra da cadeia. Aqui, apenas aparece dentro da função, então:
  1. Derivada do seno: .
  2. Derivada de onde :
    • Derivada de em relação a é .
  3. Derivada de em relação a é .
Juntando tudo:
Portanto,

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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Diga (e calcule) em quais pontos existe a derivada parcial da função (em alguns pontos é necessário recorrer à definição, ao invés de regras de derivação)