Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral imprópria . Esse tipo de integral aparece em cálculo, especialmente quando trabalhamos com funções exponenciais e trigonométricas. Vamos precisar usar técnicas de integração, como a integração por partes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria. É uma integral onde pelo menos um dos limites de integração é infinito ou onde a função não é definida em algum ponto do intervalo de integração. No nosso caso, o limite superior é , então precisamos verificar se a integral converge, ou seja, se ela chega a um valor finito.

Passo 3

Para resolver , vamos usar a técnica de integração por partes. A ideia é escolher partes da função para derivar e integrar de forma que a integral original apareça novamente, permitindo que a gente resolva para ela.
A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula:
Aí temos uma nova integral: . Vamos resolver essa também por partes.
Escolhemos novamente:
Aplicando a fórmula de novo:

Passo 5

Agora, vamos substituir essa última expressão na equação anterior:
Simplificando:
Agora, vamos chamar a integral original de :
Então:
Somando dos dois lados:
Dividindo por 2:

Passo 6

Agora, vamos avaliar a integral indefinida de 0 a :
Vamos calcular os limites.
Para :
[
e^{-x} \to 0 \quad e \quad \sin(x)) e oscilam entre -1 e 1, então a expressão inteira tende a 0.
Para :

Resposta

Portanto, a integral converge e seu valor é:

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