Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral imprópria
. Esse tipo de integral aparece em cálculo, especialmente quando trabalhamos com funções exponenciais e trigonométricas. Vamos precisar usar técnicas de integração, como a integração por partes, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria. É uma integral onde pelo menos um dos limites de integração é infinito ou onde a função não é definida em algum ponto do intervalo de integração. No nosso caso, o limite superior é
, então precisamos verificar se a integral converge, ou seja, se ela chega a um valor finito.
Passo 3
Para resolver
, vamos usar a técnica de integração por partes. A ideia é escolher partes da função para derivar e integrar de forma que a integral original apareça novamente, permitindo que a gente resolva para ela.
A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
Passo 4
Agora, aplicando a fórmula:
Aí temos uma nova integral:
. Vamos resolver essa também por partes.
Escolhemos novamente:
Aplicando a fórmula de novo:
Passo 5
Agora, vamos substituir essa última expressão na equação anterior:
Simplificando:
Agora, vamos chamar a integral original de
:
Então:
Somando
dos dois lados:
Dividindo por 2:
Passo 6
Agora, vamos avaliar a integral indefinida de 0 a
:
Vamos calcular os limites.
Para
:
[
e^{-x} \to 0 \quad e \quad \sin(x)) e oscilam entre -1 e 1, então a expressão inteira tende a 0.
e^{-x} \to 0 \quad e \quad \sin(x)) e
Para
:
Resposta
Portanto, a integral converge e seu valor é:
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