Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral+0^infty e-x sen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral imprópria . Esse tipo de integral aparece em cálculo, especialmente quando trabalhamos com funções exponenciais e trigonométricas. Vamos precisar usar técnicas de integração, como a integração por partes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria. É uma integral onde pelo menos um dos limites de integração é infinito ou onde a função não é definida em algum ponto do intervalo de integração. No nosso caso, o limite superior é , então precisamos verificar se a integral converge, ou seja, se ela chega a um valor finito.

Passo 3

Para resolver integral u , dv = uv - integral v , du , vamos usar a técnica de integração por partes. A ideia é escolher partes da função para derivar e integrar de forma que a integral original apareça novamente, permitindo que a gente resolva para ela.
A fórmula da integração por partes é:
u = sin(x) Rightarrow du = cos(x) , dx
Vamos escolher:
dv = e^-x , dx Rightarrow v = -e^-x

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula:
integral e^-x sin(x) , dx = -e^-x sin(x) + integral e^-x cos(x) , dx
Aí temos uma nova integral: u = cos(x) Rightarrow du = -sin(x) , dx . Vamos resolver essa também por partes.
Escolhemos novamente:
dv = e^-x , dx Rightarrow v = -e^-x
integral e^-x cos(x) , dx = -e^-x cos(x) - integral e^-x sin(x) , dx
Aplicando a fórmula de novo:

Passo 5

Agora, vamos substituir essa última expressão na equação anterior:
integral e^-x sin(x) , dx = -e^-x sin(x) + ( -e^-x cos(x) - integral e^-x sin(x) , dx )
Simplificando:
integral e^-x sin(x) , dx = -e^-x (sin(x) + cos(x)) - integral e^-x sin(x) , dx
Agora, vamos chamar a integral original de I = integral e^-x sin(x) , dx :
I = -e^-x (sin(x) + cos(x)) - I
Então:
2I = -e^-x (sin(x) + cos(x))
Somando I = -12 e^-x (sin(x) + cos(x)) dos dois lados:
Dividindo por 2:

Passo 6

Agora, vamos avaliar a integral indefinida de 0 a integral0^infty e^-x sin(x) , dx = [ -12 e^-x (sin(x) + cos(x)) ]0^infty :
e^-x to 0 e sin(x)) e (cos(x)) oscilam entre -1 e 1, então a expressão inteira tende a 0 Para (x = 0): [ -12 e^0 (sin(0) + cos(0)) = -12 (0 + 1) = -12
Vamos calcular os limites.
Para :
[
e^{-x} \to 0 \quad e \quad \sin(x)) e oscilam entre -1 e 1, então a expressão inteira tende a 0.
Para :

Resposta

Portanto, a integral converge e seu valor é:
integral0^infty e^-x sin(x) , dx = 12

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