Calcule as derivadas parciais
de:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar as derivadas parciais de uma função
em relação a
e
. A função dada é:
Vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas de funções compostas e derivadas de funções trigonométricas.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Primeiro, derivamos
em relação a
.
A derivada de
em relação a
é
. Aplicando a regra da cadeia:
Agora, derivamos
em relação a
:
Portanto:
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
.
A derivada de
em relação a
é
. Aplicando a regra da cadeia:
Derivando
em relação a
:
Portanto:
Passo 5
Somando as duas derivadas parciais que calculamos, obtemos
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 7
Primeiro, derivamos
em relação a
.
Usando a derivada de
e a regra da cadeia:
Derivando
em relação a
:
Portanto:
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
.
Usando a derivada de
e a regra da cadeia:
Derivando
em relação a
:
Portanto:
Passo 9
Somando as duas derivadas parciais que calculamos, obtemos
:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
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Calcule as derivadas parciais
de:
.
Calcule as derivadas parciais
de:
.
Diga (e calcule) em quais pontos existe a derivada parcial
da função (em alguns pontos é necessário recorrer à definição, ao invés de regras de derivação)
Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes: