Calcule as derivadas parciais abaixo indicadas: f(x, y) = (3*x^2 - y) / (x + y)^2
R.: f_xx = 6(y^2 - y - 2xy) / (x + y)^4

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos a função e queremos calcular a segunda derivada parcial em relação a , ou seja, . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e aplicar regras de diferenciação, como a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a , que é . Para derivar uma fração, usamos a regra do quociente:
Aqui, derivamos o numerador e o denominador separadamente e aplicamos a regra do quociente.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão que obtivemos para :
Podemos fatorar no numerador:
Simplificando mais:

Passo 4

Agora que temos , vamos calcular a segunda derivada parcial derivando novamente em relação a :
Aplicando a regra do quociente novamente:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão de :
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:

Resposta

A segunda derivada parcial de em relação a é:

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