Calcule as derivadas parciais abaixo indicadas:
R.:
R.:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos a função
e queremos calcular a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e aplicar regras de diferenciação, como a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, que é
. Para derivar uma fração, usamos a regra do quociente:
Aqui, derivamos o numerador e o denominador separadamente e aplicamos a regra do quociente.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão que obtivemos para
:
Podemos fatorar
no numerador:
Simplificando mais:
Passo 4
Agora que temos
, vamos calcular a segunda derivada parcial
derivando
novamente em relação a
:
Aplicando a regra do quociente novamente:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão de
:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:
Resposta
A segunda derivada parcial de
em relação a
é:
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