Calcule a integral. integral 3^cos x sen x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de em relação a . Para isso, vamos usar a técnica de substituição, que é uma forma de simplificar a integral mudando a variável.

Passo 2

Vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integração. Observamos que temos no expoente e multiplicando. Isso sugere que podemos fazer uma substituição com .

Passo 3

Agora, derivamos dudx = -sin x em relação a du = -sin x , dx ou sin x , dx = -du para encontrar :
Isso significa que:

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral 3^cos x cdot sin x , dx = integral 3^u cdot (-du) = -integral 3^u , du
Agora, a integral ficou mais simples de resolver.

Passo 5

Sabemos que a integral de integral a^u , du = a^uln a + C em relação a -integral 3^u , du = -3^uln 3 + C é:
Aplicando isso na nossa integral:

Passo 6

Finalmente, substituímos -3^cos xln 3 + C de volta para termos em função de :

Resposta

A integral vale .

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