Mostre que cada uma das funçőes dadas satisfaz a equação do calor partial zpartial t=c^2 partial^2 zpartial x^2
z=e^-1 cos xc

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrar que a função partial zpartial t = c^2 partial^2 zpartial x^2 satisfaz a equação do calor:
O que precisamos saber para resolver isso:
  • Equação do Calor: Uma equação diferencial que descreve como o calor se difunde em um material ao longo do tempo.
  • Derivadas Parciais: Vamos calcular as derivadas de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do calor. Ela relaciona a variação da temperatura no tempo ( ) com a segunda variação no espaço ( ) multiplicada por uma constante .
Nossa função é . Vamos calcular cada uma das derivadas necessárias.

Passo 3

Calculando partial zpartial t = partialpartial t ( e^-t cos(xc) ) :
A derivada de partial zpartial t = -e^-t cos(xc) em relação a é:
Como é uma constante em relação a , a derivada fica:

Passo 4

Calculando partial zpartial x = partialpartial x ( e^-t cos(xc) ) = -e^-t 1c sin(xc) :
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x ( -e^-t 1c sin(xc) ) = -e^-t 1c^2 cos(xc) em relação a :
Agora, a segunda derivada:

Passo 5

Substituindo na equação do calor:
Agora, vamos colocar as derivadas na equação do calor:
partial zpartial t = -e^-t cos(xc)
c^2 partial^2 zpartial x^2 = c^2 ( -e^-t 1c^2 cos(xc) ) = -e^-t cos(xc)

Passo 6

Comparando os dois lados:
partial zpartial t = -e^-t cos(xc) c^2 partial^2 zpartial x^2 = -e^-t cos(xc)
Vemos que ambos os lados são iguais:
partial zpartial t = c^2 partial^2 zpartial x^2

Resposta

Portanto, a função satisfaz a equação do calor.

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