Mostre que cada uma das funçőes dadas satisfaz a equação do calor
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrar que a função
satisfaz a equação do calor:
O que precisamos saber para resolver isso:
- Equação do Calor: Uma equação diferencial que descreve como o calor se difunde em um material ao longo do tempo.
- Derivadas Parciais: Vamos calcular as derivadas de
em relação a e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do calor. Ela relaciona a variação da temperatura no tempo (
) com a segunda variação no espaço (
) multiplicada por uma constante
.
Nossa função é
. Vamos calcular cada uma das derivadas necessárias.
Passo 3
Calculando
:
A derivada de
em relação a
é:
Como
é uma constante em relação a
, a derivada fica:
Passo 4
Calculando
:
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
Agora, a segunda derivada:
Passo 5
Substituindo na equação do calor:
Agora, vamos colocar as derivadas na equação do calor:
Passo 6
Comparando os dois lados:
Vemos que ambos os lados são iguais:
Resposta
Portanto, a função
satisfaz a equação do calor.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais abaixo indicadas:
R.:
R.:
Calcule
para
dada.
Calcule
para
dada.
Expresse o número racional como uma razão de inteiros:
(b)
(b)