Calcule as derivadas parciais até segunda ordem das funções dadas.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais até a segunda ordem da função dada:
.
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial multivariável, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar derivadas parciais de funções de duas variáveis e, em seguida, calcular suas segundas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, que é denotada por
.
A derivada parcial em relação a
significa que tratamos
como uma constante. Então, derivamos cada termo da função com respeito a
:
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, denotada por
.
Aqui, tratamos
como uma constante e derivamos cada termo com respeito a
:
Calculando cada termo:
Passo 4
Agora que temos as primeiras derivadas parciais
e
, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de segunda ordem em relação a
, que é a derivada de
em relação a
, denotada por
.
Passo 5
Em seguida, calculamos a derivada parcial mista, primeiramente derivando
em relação a
, denotada por
:
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
, que é outra forma de derivada parcial mista, denotada por
:
Passo 7
Por fim, calculamos a derivada parcial de segunda ordem em relação a
, que é a derivada de
em relação a
, denotada por
:
Resposta
As derivadas parciais até a segunda ordem da função
são: