Calcule as derivadas parciais até segunda ordem das funções dadas. f(x, y, z) = sen(x y z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas parciais até a segunda ordem da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, que é parte do cálculo multivariável. Precisamos entender como derivar funções que dependem de mais de uma variável, tratando as outras variáveis como constantes quando derivamos em relação a uma específica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais de em relação a , e . Lembre-se que, ao derivar em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.

Passo 3

Vamos começar com a derivada parcial em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de é , onde .

Passo 4

Agora, a derivada parcial em relação a :
Novamente, aplicamos a regra da cadeia, tratando como constante multiplicando .

Passo 5

E a derivada parcial em relação a :
Onde usamos a mesma lógica das derivadas anteriores.

Passo 6

Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais. Começaremos com a segunda derivada em relação a :
Aqui, derivamos em relação a , aplicando novamente a regra da cadeia.

Passo 7

Segunda derivada em relação a :
Novamente, usamos a regra da cadeia para derivar .

Passo 8

Segunda derivada em relação a :
Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia na derivação.

Resposta

As derivadas parciais até a segunda ordem da função são:
Primeiras derivadas:
Segundas derivadas:

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