Calcule as derivadas parciais até segunda ordem das funções dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas parciais até a segunda ordem da função
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, que é parte do cálculo multivariável. Precisamos entender como derivar funções que dependem de mais de uma variável, tratando as outras variáveis como constantes quando derivamos em relação a uma específica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Lembre-se que, ao derivar em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.
Passo 3
Vamos começar com a derivada parcial em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
, onde
.
Passo 4
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Novamente, aplicamos a regra da cadeia, tratando
como constante multiplicando
.
Passo 5
E a derivada parcial em relação a
:
Onde usamos a mesma lógica das derivadas anteriores.
Passo 6
Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais. Começaremos com a segunda derivada em relação a
:
Aqui, derivamos
em relação a
, aplicando novamente a regra da cadeia.
Passo 7
Segunda derivada em relação a
:
Novamente, usamos a regra da cadeia para derivar
.
Passo 8
Segunda derivada em relação a
:
Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia na derivação.
Resposta
As derivadas parciais até a segunda ordem da função
são:
Primeiras derivadas:
Segundas derivadas: