Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções dadas.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar o conjunto dos pontos de continuidade da função dada, que é
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e identificar que tipo de função estamos lidando aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não houver “saltos” ou “quebras” no seu gráfico nesse ponto. Mais formalmente, uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual a
.
Passo 3
Agora, vamos identificar o tipo de função que temos. A função
é um polinômio de segundo grau em três variáveis. Funções polinomiais têm a propriedade de serem contínuas em todo o seu domínio, que, neste caso, é todo o espaço tridimensional
.
Passo 4
Como a função é um polinômio, não há nenhum ponto em
onde ela não seja contínua. Portanto, não existem “quebras” ou “saltos” no gráfico dessa funç��o em nenhum ponto do espaço tridimensional.
Resposta
O conjunto dos pontos de continuidade da função
é todo o espaço
.
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<html><head></head><body><div>Calcule as derivadas parciais até segunda ordem das funções dadas. <span class="math-inline ">
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<html><head></head><body><div>Calcule as derivadas parciais até segunda ordem das funções dadas. <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.985ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“14.084ex” height=“3.415ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1074.1 6225.1 1509.5”><title>f(x, y) = y^3 / (x^2 + 1)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 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