Calcule as derivadas parciais até segunda ordem das funções dadas.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. Isso envolve aplicar as regras de derivação para funções de múltiplas variáveis.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial em relação a
, chamada de
. Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a
, chamada de
. Aqui, a derivada de
em relação a
é 3.
Passo 4
Com as derivadas de primeira ordem prontas, vamos para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, a segunda derivada parcial em relação a
, chamada de
. Precisamos derivar
em relação a
.
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial mista,
. Isso significa derivar
em relação a
.
Passo 6
De forma similar, a segunda derivada parcial mista
é igual a
, devido à propriedade de igualdade das derivadas mistas (quando as funções são suficientemente suaves).
Passo 7
Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a
, chamada de
.
Resposta
As derivadas parciais até segunda ordem da função
são:
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