Calcule as derivadas parciais até segunda ordem das funções dadas. f(x, y) = (3y + cos(x))^5

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função . Isso envolve aplicar as regras de derivação para funções de múltiplas variáveis.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial em relação a , chamada de . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a , chamada de . Aqui, a derivada de em relação a é 3.

Passo 4

Com as derivadas de primeira ordem prontas, vamos para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, a segunda derivada parcial em relação a , chamada de . Precisamos derivar em relação a .
Aplicando a regra do produto:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial mista, . Isso significa derivar em relação a .

Passo 6

De forma similar, a segunda derivada parcial mista é igual a , devido à propriedade de igualdade das derivadas mistas (quando as funções são suficientemente suaves).

Passo 7

Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a , chamada de .

Resposta

As derivadas parciais até segunda ordem da função são:

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