Estude a diferenciabilidade das funções dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar se a função
é diferenciável. Isso envolve entender se essa função tem derivadas parciais contínuas em todos os pontos do plano
. Para resolver isso, vamos precisar da teoria sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis e calcular as derivadas parciais da função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função de várias variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano linear nesse ponto. Isso geralmente acontece quando as derivadas parciais existem e são contínuas ao redor desse ponto.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Para a derivada parcial em relação a
:
Para a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se essas derivadas parciais são contínuas em todos os pontos
. Observando as expressões das derivadas, vemos que o exponencial
é sempre contínuo e suave para todo
e
, e as funções multiplicativas
e
também são contínuas em
.
Passo 5
Como as derivadas parciais de
existem e são contínuas em todo o domínio, podemos concluir que a função
é diferenciável em todos os pontos de
.
Resposta
A função
é diferenciável para todo
e
em
.
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Calcule as derivadas parciais até segunda ordem das funções dadas.
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no
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, transforma a elipse
no círculo unitário centro na origem.