Estude a diferenciabilidade das funções dadas. f(x, y) = e^(y - x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar se a função é diferenciável. Isso envolve entender se essa função tem derivadas parciais contínuas em todos os pontos do plano . Para resolver isso, vamos precisar da teoria sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis e calcular as derivadas parciais da função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função de várias variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano linear nesse ponto. Isso geralmente acontece quando as derivadas parciais existem e são contínuas ao redor desse ponto.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Para a derivada parcial em relação a :
Para a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, precisamos verificar se essas derivadas parciais são contínuas em todos os pontos . Observando as expressões das derivadas, vemos que o exponencial é sempre contínuo e suave para todo e , e as funções multiplicativas e também são contínuas em .

Passo 5

Como as derivadas parciais de existem e são contínuas em todo o domínio, podemos concluir que a função é diferenciável em todos os pontos de .

Resposta

A função é diferenciável para todo e em .

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