Calcule o determinante Jacobiano e, se existir, a transformação inversa. f(x, y) = (e^x - y, x + 5y)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o determinante Jacobiano e, se existir, encontrar a transformação inversa da função . Para isso, vamos precisar entender o que é o Jacobiano e como encontrar uma transformação inversa usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz Jacobiana da função . A matriz Jacobiana é composta pelas derivadas parciais das funções componentes em relação a cada variável. Para , temos:

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Portanto, a matriz Jacobiana fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante do Jacobiano :
Para que a transformação inversa exista, o determinante Jacobiano deve ser diferente de zero. Como é sempre positivo (já que para qualquer ), o determinante nunca é zero. Portanto, a transformação inversa existe.

Passo 5

Para encontrar a transformação inversa, vamos resolver o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para e em termos de e .
Primeiro, da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Essa equação não é facilmente resolvível de forma explícita para , o que indica que a transformação inversa não pode ser expressa de forma simples em termos de funções elementares. Portanto, apesar do determinante Jacobiano ser diferente de zero, a transformação inversa não possui uma expressão fechada fácil de determinar.

Resposta

O determinante Jacobiano é e, embora seja sempre positivo garantindo a existência da transformação inversa, esta não pode ser expressa de forma simples em termos de funções elementares.

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