Calcule o determinante Jacobiano e, se existir, a transformação inversa.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o determinante Jacobiano e, se existir, encontrar a transformação inversa da função
. Para isso, vamos precisar entender o que é o Jacobiano e como encontrar uma transformação inversa usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz Jacobiana da função
. A matriz Jacobiana é composta pelas derivadas parciais das funções componentes em relação a cada variável. Para
, temos:
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, a matriz Jacobiana fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante do Jacobiano
:
Para que a transformação inversa exista, o determinante Jacobiano deve ser diferente de zero. Como
é sempre positivo (já que
para qualquer
), o determinante nunca é zero. Portanto, a transformação inversa existe.
Passo 5
Para encontrar a transformação inversa, vamos resolver o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para
e
em termos de
e
.
Primeiro, da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Essa equação não é facilmente resolvível de forma explícita para
, o que indica que a transformação inversa não pode ser expressa de forma simples em termos de funções elementares. Portanto, apesar do determinante Jacobiano ser diferente de zero, a transformação inversa não possui uma expressão fechada fácil de determinar.
Resposta
O determinante Jacobiano é
e, embora seja sempre positivo garantindo a existência da transformação inversa, esta não pode ser expressa de forma simples em termos de funções elementares.
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em
.